בחינת דוגמה

יסודות ניתוח וחיזוי סדרות עתיות — טופס לסטודנטים

שם מלא:

מספר זהות:

תאריך:

קבוצה:

משך הבחינה: 120 דקות. ציון מרבי: 100.

מותר להשתמש במחשבון רגיל ובדף אחד בגודל A4 שעליו ניתן לכתוב מראש כל חומר שהסטודנט בוחר. אסור להשתמש באינטרנט, במחשב או בתוכנה סטטיסטית. כל השאלות הן חובה.

בשאלות הקצרות אין די בבחירת תשובה. יש לכתוב גם הסבר קצר של 1–3 משפטים. תשובה ללא הסבר תיחשב חלקית.

שאלה 1. שאלות קצרות עם הסבר חובה

24 נקודות

1.1.3 נקודות טענה: כל תהליך של רעש לבן (White Noise) חייב להתפלג נורמלית.
קבעו והסבירו: האם הטענה נכונה או לא נכונה? בהסבר ציינו אילו תכונות אכן נכללות בהגדרה של רעש לבן.

כאן יש לכתוב: תשובה קצרה + הסבר:

1.2.3 נקודות נתונה סדרה עתית סטציונרית. בפונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) מתקבלים ערכים מובהקים בלאגים 1 ו־2. החל מלאג 3 הערכים קרובים לאפס. לעומת זאת, פונקציית האוטוקורלציה (ACF) אינה נקטעת, אלא דועכת בהדרגה.
בחרו והסבירו: איזה מודל הוא המועמד הטבעי הראשון?

א. מודל ממוצע נע מסדר שני MA(2)
ב. מודל אוטורגרסיבי מסדר שני AR(2)
ג. מודל משולב ARMA(1,1)
ד. הילוך מקרי (Random Walk)

כאן יש לכתוב: האות שנבחרה + שם המודל + הסבר קצר:

1.3.3 נקודות תחילה הפעילו על הסדרה המקורית את מבחן ADF (Augmented Dickey–Fuller) ברמת מובהקות של 5%, וקיבלו p-value = 0.61. לאחר מכן יצרו סדרה חדשה של הפרשים ראשונים: Yₜ = Xₜ − Xₜ₋₁ כלומר, מכל תצפית החסירו את התצפית הקודמת. על סדרת ההפרשים Yₜ הפעילו שוב את אותו מבחן וקיבלו p-value = 0.02.
בחרו והסבירו: איזו מסקנה היא המבוססת ביותר?

א. הסדרה המקורית סטציונרית, וההפרש הראשון הפך אותה ללא־סטציונרית.
ב. הסדרה המקורית כנראה אינה סטציונרית; לאחר ההפרש הראשון התקבלו עדויות לכך שהסדרה לאחר ההפרש סטציונרית, ולכן סביר לשקול d = 1.
ג. מן התוצאות ניתן להסיק שחייבים לקחת הפרש עונתי בתקופה 12.
ד. לאחר ההפרש הראשון הוכח שסדרת ההפרשים היא רעש לבן.

כאן יש לכתוב: האות שנבחרה + הסבר על השערת האפס ועל השינוי לאחר ההפרש:

1.4.3 נקודות משווים שני מודלים שנאמדו על אותו מערך נתונים. בשני המודלים אבחון השאריות הראשוני תקין.

מודל A: AIC = 510, BIC = 522, וכל המקדמים מובהקים.
מודל B: AIC = 508, BIC = 531, ומקדם נוסף אחד אינו מובהק.

בחרו והסבירו: איזה מודל סביר יותר לבחור? התייחסו לשני הקריטריונים, למובהקות המקדמים ולעקרון החסכנות (Parsimony).

כאן יש לכתוב: בחירת המודל + הסבר:

1.5.3 נקודות מבחן Ljung–Box הופעל על שאריות המודל עד לאג 12, ברמת מובהקות של 5%. השערת האפס היא שכל האוטוקורלציות של השאריות בלאגים 1–12 שוות לאפס. התקבל p-value = 0.68.
הסבירו: מה ניתן להסיק מן התוצאה, ומה לא ניתן להסיק על סמך המבחן הזה בלבד?

כאן יש לכתוב: המסקנה המותרת + מסקנה שאסור להסיק:

1.6.3 נקודות בסדרה המקורית הייתה מגמה. לאחר שחישבו את ההפרש הראשון Yₜ = Xₜ − Xₜ₋₁ הסדרה החדשה נראתה סטציונרית, ובמבחן ADF (Augmented Dickey–Fuller) ברמת מובהקות של 5% התקבל p-value = 0.01. למרות זאת, האנליסט חישב הפרש נוסף: Wₜ = Yₜ − Yₜ₋₁ לאחר ההפרש הנוסף השונות גדלה, ובפונקציית האוטוקורלציה (ACF) הופיע ערך שלילי חזק בלאג 1.
בחרו והסבירו: מהו ההסבר הסביר ביותר?

א. הופיעה עונתיות חדשה בסדרה.
ב. נלקח הפרש מיותר נוסף — לקיחת הפרשים עודפת (Overdifferencing).
ג. התגלה אפקט ARCH.
ד. הסדרה קצרה מדי ולכן אי אפשר להסיק דבר.

כאן יש לכתוב: האות שנבחרה + הסבר מדוע ההפרש הנוסף היה מיותר:

1.7.3 נקודות נתון מודל ממוצע נע מסדר ראשון: Xₜ = μ + Zₜ + θZₜ₋₁ כאשר Zₜ הוא רעש לבן, והמידע עד זמן t ידוע.
קבעו והסבירו: למה שווה התחזית הנקודתית X̂ₜ(2) לשני צעדים קדימה? אין צורך בחישובים ארוכים.

כאן יש לכתוב: התחזית + הסבר קצר:

1.8.3 נקודות נתונה סדרה חודשית ללא מגמה כללית ברורה. פונקציית האוטוקורלציה (ACF) מציגה ערכים מובהקים בלאגים 12, 24 ו־36, והערכים בלאגים העונתיים אינם דועכים במהירות.
קבעו והסבירו: על איזו עונתיות מצביע מבנה זה, ואיזו טרנספורמציה מתאימה יש לשקול?

כאן יש לכתוב: סוג העונתיות + הטרנספורמציה המתאימה + הסבר קצר:

שאלה 2. זיהוי מודל לפני ואחרי חישוב הפרש ראשון

20 נקודות

חלוקת הניקוד: 5 נקודות לכל מקבץ: נקודה לקביעת סטציונריות, נקודה לצורך בהפרש, נקודה לבחירת המודל, ושתי נקודות להסבר לפי ACF/PACF.

להלן ארבעה מקבצים בלתי־תלויים A–D. בכל מקבץ מוצגים גרפים של אותה סדרה לפני ואחרי חישוב הפרש ראשון.

ההפרש הראשון מחושב כך:

Yₜ = Xₜ − Xₜ₋₁

כלומר, מכל ערך בסדרה המקורית מחסירים את הערך שקדם לו.

בכל מקבץ מוצגים שישה גרפים:

הסדרה המקורית;
פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של הסדרה המקורית;
פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית;
סדרת ההפרשים הראשונים;
פונקציית האוטוקורלציה של סדרת ההפרשים;
פונקציית האוטוקורלציה החלקית של סדרת ההפרשים.

הגרפים הם גרפים מדגמיים, ולכן ייתכנו תנודות מקריות קטנות. יש להתבסס על המבנה הכללי: דעיכה, קטיעה, ערכים מובהקים והאם הסדרה נעה סביב רמה קבועה.

פתרו והסבירו: עבור כל מקבץ בחרו את המודל המתאים ביותר מן הרשימה. כל אחד מארבעת המודלים הנכונים מופיע פעם אחת בלבד; אפשרות אחת אינה מתאימה לשום מקבץ.

א. הילוך מקרי — ARIMA(0,1,0).
ב. ARIMA(1,1,0): לאחר הפרש ראשון מתקבל AR(1).
ג. ARIMA(0,1,1): לאחר הפרש ראשון מתקבל MA(1).
ד. מודל אוטורגרסיבי סטציונרי מסדר ראשון AR(1); אין צורך בהפרש.
ה. מודל ממוצע נע סטציונרי מסדר ראשון MA(1); אין צורך בהפרש.

עבור כל מקבץ יש לכתוב:

האם הסדרה המקורית סטציונרית או לא־סטציונרית;
האם צריך לחשב הפרש ראשון;
איזה מבנה ב־ACF וב־PACF תומך במודל שנבחר.

מקבץ A

מקבץ A: PACF של הסדרה המקורית — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית

מקבץ A: ACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של ההפרש הראשון

מקבץ A: PACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של ההפרש הראשון

מקבץ B

מקבץ B: PACF של הסדרה המקורית — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית

מקבץ B: ACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של ההפרש הראשון

מקבץ B: PACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של ההפרש הראשון

מקבץ C

מקבץ C: PACF של הסדרה המקורית — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית

מקבץ C: ACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של ההפרש הראשון

מקבץ C: PACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של ההפרש הראשון

מקבץ D

מקבץ D: PACF של הסדרה המקורית — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית

מקבץ D: ACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של ההפרש הראשון

מקבץ D: PACF של ההפרש הראשון — פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של ההפרש הראשון

מקבץ	המודל שנבחר, א–ה	האם צריך לחשב הפרש ראשון?	הסבר קצר
A
B
C
D

כאן יש להוסיף הסברים אם המקום בטבלה אינו מספיק:

שאלה 3. פולינומים אופייניים, סטציונריות והפיכות

16 נקודות

פתרו והסבירו: נתון המודל הבא:

(1 − 0.5B)(1 + 0.25B)Xₜ = (1 + 0.4B)Zₜ, Zₜ ~ WN(0, σ²)

כאן B הוא אופרטור ההזזה לאחור, ו־Zₜ הוא רעש לבן.

השתמשו בתנאים הבאים:

המודל סטציונרי אם כל השורשים של Φ(B)=0 נמצאים מחוץ למעגל היחידה, כלומר ערכם המוחלט גדול מ־1.
המודל הפיך אם כל השורשים של Θ(B)=0 נמצאים מחוץ למעגל היחידה, כלומר ערכם המוחלט גדול מ־1.

3 נקודותקבעו את סוג המודל ואת הסדר של החלק האוטורגרסיבי ושל חלק הממוצע הנע.
4 נקודותכתבו את הפולינום האוטורגרסיבי Φ(B) ואת פולינום הממוצע הנע Θ(B).
4 נקודותמצאו את כל השורשים של Φ(B)=0 ושל Θ(B)=0.
5 נקודותקבעו אם המודל סטציונרי ואם הוא הפיך. נמקו בעזרת ערכי השורשים.

כאן יש לכתוב: כל החישובים + התשובות + הסבר למסקנות:

שאלה 4. מקרה יישומי: בחירת מודל ואבחון שאריות

24 נקודות

נתונה סדרה חודשית של ביקוש, המסומנת Xₜ. תחילה בוצעה טרנספורמציה לוגריתמית. לאחר מכן נמצא שיש צורך בהפרש ראשון אחד. הטבלה מציגה מודלי ARIMA שנאמדו עבור הסדרה הלוגריתמית המקורית; לכן בכל המודלים מופיע d = 1. כל המודלים נאמדו על אותם נתונים ובאותה תקופת זמן.

מבחן Ljung–Box הופעל על שאריות כל מודל עד לאג 12, ברמת מובהקות של 5%. השערת האפס היא שכל האוטוקורלציות של השאריות בלאגים 1–12 שוות לאפס.

מודל	AIC	BIC	מובהקות המקדמים	Ljung–Box p-value
ARIMA(1,1,0)	820	831	כל המקדמים מובהקים	0.42
ARIMA(2,1,0)	818	835	המקדם האוטורגרסיבי השני אינו מובהק: p-value = 0.38	0.47
ARIMA(1,1,1)	817	837	מקדם הממוצע הנע אינו מובהק: p-value = 0.31	0.03

4.1.8 נקודות בחרו והסבירו: איזה מודל הוא המועמד העיקרי? התייחסו ל־AIC, ל־BIC, למובהקות המקדמים ולעקרון החסכנות.

בחירת המודל והנימוקים:

4.2.5 נקודות איזה מודל אינו עובר את מבחן Ljung–Box ברמת מובהקות של 5%? הסבירו.

המודל והמסקנה מן המבחן:

4.3.5 נקודות מה ניתן להסיק מ־p-value גדול במבחן Ljung–Box, ומה המבחן אינו מוכיח?

המסקנה המותרת והמגבלות שלה:

4.4.6 נקודות האם ניתן לעבור מיד לחיזוי לאחר מבחן Ljung–Box בלבד? נמקו וציינו לפחות בדיקה נוספת אחת שכדאי לבצע על השאריות.

תשובה + בדיקה נוספת:

שאלה 5. מצאו, תקנו והסבירו

16 נקודות

5.1.4 נקודות סטודנט טוען: "פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) נקטעת לאחר לאג 1, ולכן זהו מודל ממוצע נע מסדר ראשון MA(1)."
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהי המסקנה הנכונה?

הטעות + התיקון + הסבר:

5.2.4 נקודות במבחן ADF (Augmented Dickey–Fuller) ברמת מובהקות של 5% התקבל p-value = 0.01. סטודנט טוען: "לכן קיומו של שורש יחידה אושר."
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהי המסקנה הנכונה?

הטעות + התיקון + הסבר:

5.3.4 נקודות מבחן Ljung–Box הופעל על שאריות מודל עד לאג 12, ברמת מובהקות של 5%, והתקבל p-value = 0.72. אנליסט טוען: "לא נמצאה אוטוקורלציה, ולכן המודל מושלם."
מצאו והסבירו: מדוע המסקנה חזקה מדי?

הטעות + מסקנה מדויקת יותר:

5.4.4 נקודות בגרף הסדרה המקורית נראית מגמת עלייה חזקה. הסטודנט מנסה מיד לבחור ערכים מדויקים של p ו־q בעזרת ACF ו־PACF של הסדרה המקורית.
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהו סדר הפעולות הנכון?

הטעות + סדר הפעולות הנכון + הסבר:

זוהי בחינת דוגמה. הבחינה האמיתית תשמור על מבנה דומה ועל רמת קושי דומה, אך תכלול ניסוחים, גרפים, מודלים, מקדמים ומקרה יישומי אחרים.